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        首页 概率统计.第七章 随机变量的数字特征

        概率统计.第七章 随机变量的数字特征.ppt

        概率统计.第七章 随机变量的数字特征

        中小学精品课件
        2019-04-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

        简介:本文档为《概率统计.第七章 随机变量的数字特征ppt》,可适用于综合领域

        *DepartmentofMathematics概率论与数理统计主讲人:王东明年秋学期*第七章随机变量的数字特征*第一节数学期望*一、数学期望的引入例在次重复试验中离散型随机变量X取值为有次取值为有次。问X取值的平均值是多少?X的分布为:*加权平均数的计算:随机变量的平均值:概率替换频率*二、数学期望的定义为随机变量X的数学期望*补充说明:加权平均数:离散随机变量期望:连续随机变量期望:频率概率概率注:)期望是均值的推广或更一般的形式。)连续随机变量期望公式可由离散随机变量期望公式和定积分定义推出。***三、一维随机变量的函数的数学期望*例设随机变量X的分布为解:***数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用见下面的例子*例某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数公司每售出一台机器可获利元若机器在售出万小时之内出现故障则予以更换这时每台亏损元若在到万小时之内出现故障则予以维修由公司负担维修费元若在使用万小时以上出现故障则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。*解决方法:求随机变量函数的数学期望关键:*公司每售出一台机器可获利元,若机器在售出万小时之内出现故障则予以更换每台亏损元若在到万小时之内出现故障则予以维修由公司负担维修费元若在使用万小时以上出现故障则用户自己负责。**四、多维随机变量函数的数学期望***五、数学期望的运算性质线性性质**例将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能的求有球盒子数X的期望。这种方法称为分解随机变量法是概率统计中典型、重要的一种解题方法。*例将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能的求有球盒子数X的期望。古典概型*例〔疾病检验问题〕在人数为N的人群中普查某种疾病抽验N个人的血。方案①:分别检验方案②:按k个人一组来检验?!沧ⅲ喝鬹个人的混合血液呈阴性则每个人的血液都呈阴性若k个人的混合血液呈阳性则至少有一个人的血液都呈阳性?!臣偕韪眉膊〉姆⒉÷饰猵且得病相互独立问哪一种方案能够减少平均每个人检验的次数。解:按照方案①每个人需要验血的次数都为次而按照方案②每个人需要验血的次数X的分布列为*补充说明:*例某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从()上的均匀分布每售出吨该原料,公司可获利千元若积压吨,则公司损失千元。问公司应该组织多少货源,可以使平均收益最大?*例某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从()上的均匀分布每售出吨该原料,公司可获利千元若积压吨,则公司损失千元。问公司应该组织多少货源,可以使平均收益最大?**第二节方差与标准差*引例比较随机变量X、Y的期望尽管有相同的期望EX=EY,但Y的取值比X要分散这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量的分布特征还须进一步研究它的离散程度注:X、Y的期望相同但误差取值的波动性不同。对产品质量的稳定性,市场的波动性投资的风险等问题的研究都涉及到对随机变量分布的分散程度的研究。*我们最直接的想法是用XiE(X)表示离散程度,XiE(X)称为离差它的取值可正可负且它的数学期望为因而不能用它的均值来衡量X对E(X)的离散程度为了消除离差取值符号的影响我们采用离差的平方XE(X)的均值来衡量X对E(X)的离散程度由此引入“方差”的概念:*一、方差与标准差的定义*方差的常用计算公式:方差的定义式:*离散型和连续型随机变量的方差计算公式*离散型和连续型随机变量的方差计算公式*分布列与方差大小的关系:结论:取值分布集中方差较小反之方差较大*密度函数与方差大小的关系:结论:密度函数图形较陡峭的方差较小反之方差较大*例计算泊松分布的方差。解:泊松分布的分布律为*例正态分布的方差。*例计算指数分布的方差。*二、方差的性质方差不具备线性性质*例计算二项分布的方差。二项分布的可加性注:直接利用二项分布律和级数的运算也可以求出二项分布的期望和方差。*注:本例是数理统计常用的一个重要结果它体现了平均值的稳定性。*例某人有一笔资金,可投入两个项目:房产和商业,其收益都与市场有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别是,和。通过调查,该投资者认为投资房产的收益X(万元)和投资商业的收益Y(万元)的分布分别为请问:该投资者如何投资为好?*第三节协方差和相关系数*一、协方差协方差也称为相关中心矩。联合分布中分量间的关系**协方差的常用性质:注:以上性质可利用定义及期望的性质来证明**补充说明:***二、相关系数在表示随机变量的关系时,为了消除量纲的影响引入了相关系数的概念。*相关系数的性质:**补充说明相关系数ρ(X,Y)刻画了随机变量X、Y间线性相关的程度。ρ=±时表示X、Y几乎处处具有线性关系ρ=时表示X、Y不具有线性关系但可以具有其他(如曲线)关系。独立性是指两个随机变量不具有任何关系。对二元正态分布来说独立性与不相关〔ρ=〕是等价的。与协方差相比较相关系数是一个不带单位的系数消除了量纲的影响可以更准确地反映随机变量间的关系同时也方便不同类型随机变量的比较。*注:协方差虽然很小,但相关系数却比较大所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。*第四节大数定律与中心极限定理*事件发生的频率具有稳定性即随着试验次数的增多事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。这就充分说明事件的概率是客观存在的。频率的稳定性便是这一客观存在的反映。人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。在概率论中,用来阐明大量平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律由大数定律,大量随机因素的总和必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。*一、大数定律*补充说明*依概率收敛的一般形式:、切比雪夫大数定律*、贝努里大数定律注:贝努里定理是切比雪夫定理的特例,它从理论上证明了频率的稳定性只要试验次数n足够大,事件A出现的频率与事件A的概率有较大偏差的可能性很小即可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。*、马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分布的假设是适用范围最广的大数定律也是用来证明其他大数定律的重要依据。*、辛钦大数定律注:辛钦大数定律给出了求期望近似值的方法观测值的平均即且这种方法不需要考虑分布的具体形式。*二、独立同分布下的中心极限定理*二项分布的正态近似定理〔棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理〕例设一个车间里有台同类型的机器每台机器需要用电为Q瓦。由于工艺关系每台机器不连续开动开动的时间只占总工作时间的。问应该供应多少瓦电力才能以%的概率保证该车间的机器正常工作?〔设各机器的开、停是相互独立的〕分析:正常工作即是要求开动的机器所需要的总电力不超过所供应的电力这与开动的机器台数有关。由于每台机器开、停与否相互独立且开动的概率都是相同的故开动的机器台数服从二项分布。即认为是相同的试验独立重复做了次。由于试验次数较大其概率计算可以近似用正态分布来替代〔棣莫佛-拉普拉斯中心极限定律〕,进而转化为标准正态分布。*解:令X表示台机器中同时开动的台数则有*例为了测量一台机床的质量,把它分成个部件来称量。假定每个部件的称量误差服从区间(,)上的均匀分布且各个部件的称量误差是相互独立的求机床质量的总误差的绝对值不超过kg的概率。解:记各个部件的称量误差为Xi则总的称量误差为*所求概率为总的称量误差例为了测量一台机床的质量,把它分成个部件来称量。假定每个部件的称量误差服从区间(,)上的均匀分布且各个部件的称量误差是相互独立的求机床质量的总误差的绝对值不超过kg的概率。*作业:皖西学院数理系*TheEnd!ThankYou!DepartmentofMathematics皖西学院数理系

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