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        首页 向量法证明不等式

        向量法证明不等式.doc

        向量法证明不等式

        贾敬细
        2019-04-30 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

        简介:本文档为《向量法证明不等式doc》,可适用于高等教育领域

        向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量,将其延伸到欧氏空间上的n维向量,向量的加、减、数乘运算都没有发生改变若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算,则高中阶段的向量即为n=,时的情况设a,b是欧氏空间的两向量,且a=(x,x,…,xn),b=(y,y,…,yn)(xi,yi∈R,i=,…,n)规定a·b=(x,x,…,xn)·(y,y,…,yn)=xyxy…xnyn=xiyi(注:a·b可记为(a,b),表示两向量的内积),有由上,我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式,进而构造n维向量来证明其他不等式一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例设a,b,c∈R,求证:(abc)≤≤证明:先证左边,设m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),则由综上,原不等式成立点评:利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边,利用向量数量积建立不等式证明右边作单位向量j⊥ACj(ACCB)=jABjACjCB=jABjCB=jAB|CB|cos(π∠C)=|AB|cos(π∠A)即|CB|sinC=|AB|sinAasinA=csinC其余边同理在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为BAACCB=恒成立,两边乘以i得i*BAi*AC=①根据向量内积定义,i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(sinC)=bsinC代入①得csinBbsinC=所以bsinB=csinC类似地,做另外两边的单位垂直向量可证asinA=bsinB,所以asinA=bsinB=csinC步骤记向量i,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴abc=则i(abc)=i·ai·bi·c=a·cos((C))b·c·cos(A)=asinCcsinA=接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到asinA=bsinB同理,在△ABC中,bsinB=csinC步骤证明asinA=bsinB=csinC=R:任意三角形ABC,作ABC的外接圆O作直径BD交⊙O于D连接DA因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C所以csinC=csinD=BD=R类似可证其余两个等式。

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